形如ax+by=c（a，b，c均为常数，且a，b均不为0），一般情况下，每一个x的值都有一个y值和它相对应，有无穷多组解。如果方程（组）中，解的数值不能唯一确定，这样的方程（组）称为不定方程。对于不定方程，我们常常限定于只求整数解，甚至只求正整数解，在加上这些限定条件后，解可能只有有限个或唯一确定。

　　一、不定方程有整数解的条件

　　整系数二元不定方程ax+by=c中的系数a，b的最大公约数能整除c。

　　二、不定方程的基本解法

　　1、尾数法

　　例：求方程4x+5y=76的所有正整数解。

　　分析：由题意知5y的尾数只能是0或5，因为4x、76是偶数，所以5y只能是偶数，故其尾数只能是0，那么4x的尾数就只能是6，因此x的尾是4或9，又4x<76，所以整数x<19，故x可取4，9，14。

　　当x=4时，y=12；当x=9时，y=8；

　　当x=14时，y=4。

　　所以原方程的正整数解为：

　　x=4， x=9， x=14，

　　y=12； y=8； y=4。

　　2、枚举法

　　例：求方程3x+11y=53的所有正整数解。

　　分析：因为y前面的系数较大，且x、y均为正整数，故11y≤53，所以y可取1、2、3、4，四个数值，分别将y=1，2，3，4代入原方程，可以发现y=2、3时方程无整数解。

　　当y=1时，x=14；当y=4时，x=3。

　　所以原方程的解为：

　　x=3， x=14，

　　y=4； y=1。

　　3、奇偶判断

　　奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数

　　例：3a+4b=25，已知a,b是正整数，则a的值是()。

　　A、1 B、2 C、6 D、7

　　分析：因为4a是偶数，25是奇数，所以3a是奇数，即a是奇数，从1开始代入，解得a=3，b=4或a=7，b=1.结合选项，D正确。

　　4、余数分析

　　余数的和等于和的余数。

　　不定方程中各数除以同一个数，所得余数的关系来进行求解，求x，则消y，除以y的系数。

　　例、 7a+8b=111，已知a,b是正整数，且a>b,则a-b=()。

　　A、2 B、3 C、4 D、5

　　分析：因为7a能被7整除，111除以7的余数为6，所以8b除以7的余数为6，即b除以7的余数为6，则依次解得a=9，b=6或a=1，b=13。因为a>b，所以原方程的解为a=9，b=6，则a-b=9-6=3。B选项正确。

　　求方程x^2-6xy+10y^2=169的正整数解。

　　分析：将原方程配方得

　　（x-3y）^2+y^2=13^2，在初二上学期学习勾股定理的时候要记住的一组勾股数为5、12、13，其中最大的数为13。

　　所以y=5或y=12，x-3y=±12或±5。

　　当y=5，x-3y=12时，x=27；当y=5，x-3y=-12时，x=3；当y=12，x-3y=5时，x=41；当y=12，x-3y=-5时，x=31。

　　所以原方程有四组解：

　　x=27，x=3，x=41，x=31，

　　y=5；y=5；y=12；y=12。：